18:00 <%Nivertius> Po pierwsze - witam wszystkich, na imię mam Paweł, jestem studentem Automatyki i Robotyki na AGH krakowskim.
18:02 <%Nivertius> Będę właśnie prowadził wykład o ciągach i ich granicach. Chciałem go poprowadzić raczej od strony akademickiej niż szkolnej. I chcę raczej pokazać, że to jest ciekawe i w ogóle, niż Was na żywca nauczyć.
18:02 <%Nivertius> To jest mój pierwszy wykład i w sumie 4 czy 5 raz na IRCu, więc weźcie to pod uwagę.
18:03 <%Nivertius> Dobra, jeżeli nikt nie ma nic przeciwko, to zaczynam.
18:04 <%Nivertius> Pierwsze co musimy ustalić to co to w ogóle jest ciąg w sensie matematycznym.
18:05 <%Nivertius> Co nam może podpowiedzieć intuicja? Pewnie to, że to jest pewien zestaw liczba w których ważna jest kolejność.
18:05 <%Nivertius> I faktycznie, w duzym uogolnieniu wlasnie tak jest.
18:05 <%Nivertius> Mozna powiedziec, ze jest to zbior, w ktorym jest istotna kolejnosc.
18:05 <%Nivertius> Jednak matematycy nie lubia takich nieprecyzyjnych stwierdzen.
18:06 <%Nivertius> Dlatego ustalili definicje, ktora podam pozniej.
18:06 <%Nivertius> Jakie mozemy miec ciagi? Przykladowo mozemy sobie wybrac ciag samych jedynek.
18:07 <%Nivertius> Jakos trzeba go zareprezentowac. W prosty sposob mozna to zrobic tak: (1, 1, 1, ...)
18:07 <%Nivertius> Istotne jest to, ze uzyte zostaly nawiasy okragle, nie klamry. Gdyby to byly klamry, to bylby to zbior.
18:07 <%Nivertius> Innym przykladem ciagu jest (1, 2, 3, ...)
18:08 <%Nivertius> Takie przedstawienie podpowiada nam co jest po 3 - domyslamy sie, ze bedzie to 4.
18:09 <%Nivertius> Elementy ciagu nazywamy wyrazami.
18:09 <%Nivertius> Jednak czasami nie da sie przestawic ciagu w takiej formie, bo to moze nie byc intuicyjne jaki bedzie nastepny wyraz. Przyklad: (1, 2, 3, 2, ...)
18:10 <%Nivertius> Co bedzie nastepne? Nie wiadomo.
18:10 <%Nivertius> Ciagi oczywiscie nie musza byc nieskonczone. Rzecz jasna mozna stworzyc ciag, ktory ma skonczona ilosc wyrazow. Przykladowo: (1, 2, 3, 4)
18:11 <%Nivertius> Cztery wyrazy, wszystkie jasne i jawnie przestawione.
18:11 <%Nivertius> Tak jak mowilem trzeba bylo jednak wprowadzic formalna definicje ciagu.
18:12 <%Nivertius> Zostala wprowadzona definicja taka, ze ciag, jest to funkcja o dziedzinie bedacej podzbiorem liczb naturalnych.
18:12 <%Nivertius> Brzmi skomplikowanie i oderwanie od intuicji?
18:13 <%Nivertius> Przeciwdziedzina moze byc dowolny zbior, jak sie pozniej dowiemy.
18:13 <%Nivertius> Jednak na poczatek ustalmy, ze przeciwdziedzina jest zbior liczb rzeczywistych. Czyli mamy taka funkcje f: N -> R
18:14 <%Nivertius> A raczej A [zawiera sie w] N -> R
18:14 <%Nivertius> Niestety z powodow technicznych nie bede mogl przedstawic wiekszosci symboli matematycznych, wiec bede je pisal fontycznie w nawiasach kwadratowych.
18:15 <%Nivertius> Mamy wiec taka funkcje f. Jezeli zadziala ona na pierwsza liczbe naturalna - 1, to zwroci ona jakas liczbe rzeczywista.
18:15 <%Nivertius> Ta liczba to po prostu pierwszy wyraz ciagu.
18:15 <%Nivertius> Tak samo f(2) to drugi wyraz ciagu.
18:16 <%Nivertius> Jezeli nasza dziedzina funkcji, A, jest podzbiorem liczb naturalnych skonczonym, to uzyskamy skonczony ciag.
18:17 <%Nivertius> Jak juz mowilem przeciwdziedzina moze byc dowolny zbior. Moze to byc zbior uzytkownikow na kanale #wyklady - przykladowo moze byc to ciag kolejnych wypowiadajacych sie.
18:18 <%Nivertius> Przykladowo: ("netx0r", "Nivertius", "GynAway", "Misiek")
18:18 <%Nivertius> Mamy skonczony ciag, gdzie liczbie 1 odpowiada 'netx0r' itp.
18:19 <%Nivertius> Podkreslam - moze to byc dowolny zbior: Moze to byc zbior punktow na plaszczyznie - R^2, moze to byc zbior Borellowski [przedzial] - dowolnie.
18:20 <%Nivertius> Oprocz oczywistej metody reprezentacji - wyraz po wyrazie, jest jeszcze kilka innych.
18:21 <%Nivertius> Jezeli ciag nazwiemy standardowo 'a', to mozemy zapisac jawny wzor jak wyliczyc n-ty wyraz ciagu: an = n
18:21 <%Nivertius> Piszac 'an' mam na mysli 'a' z indeksem dolnym 'n', niestety mozliwosci technicznych brak.
18:22 <%Nivertius> Ten wzor, ktory podalem definiuje ciag (1, 2, 3, 4, ...)
18:22 <%Nivertius> Jezeli za n wstawimy numer wyrazu, który chcemy poznac dostaniemy jego wartosc.
18:23 <%Nivertius> Inna metoda reprezentacji jest podanie wzoru rekurencyjnego.
18:23 <%Nivertius> Czyli podajemy jawnie pierwszy wyraz ciagu: a1 = 4
18:23 <%Nivertius> I podajemy to jak sie ma nastepny wyraz do poprzedniego: an = an-1 + 1
18:23 <%Nivertius> Ten wzor reprezentuje ciag (4, 5, 6, ...)
18:24 <%Nivertius> Sa ciagi, ktorych nie da sie przedstawic w pelni w zaden z tych sposobow.
18:25 <%Nivertius> Wystarczy wziac sobie ciag cyfr w rozwinieciu dziesietnym liczby pi. Nie przedstawimy go ani w nawiasach, ani nie podamy jawnego wzoru, ani rekurencyjnego.
18:25 <%Nivertius> Mozna go tylko opisac - i to tez jest jakastam [kiepska ;-)] metoda reprezentacji ciagu.
18:26 <%Nivertius> Jezeli mowimy o ciagach, to nie mozemy zapomniec o czyms takim jak monotonicznosc ciagow.
18:26 <%Nivertius> Monotonicznosc to wcale nie 'monotonia' i to niewiele ma wspolnego z nudzeniem. Monotonicznosc okresla, ze cos jest jednostajne.
18:27 <%Nivertius> W matematycznym ujeciu zmiana jest jednostajna.
18:27 <%Nivertius> Czyli ciag monotoniczny, to przykladowo ciag rosnacy.
18:27 <%Nivertius> To znaczy, ze kazdy jego nastepny wyraz jest wiekszy od poprzedniego.
18:28 <%Nivertius> Tutaj intuicja sie kompletnie zgadza z definicja, bo dokladnie tak jest definiowana monotonicznosc
18:28 <%Nivertius> Jest piec rodzajow monotonicznosci dla ciagow: rosnacy, malejacy, nierosnacy, niemalejacy i staly.
18:28 <%Nivertius> Przykladowo, ciag rosnacy jest definiowany tak:
18:29 <%Nivertius> [dla każdego] n2 > n1 : an2 > an1 -> rosnący
18:30 <%Nivertius> Czyli jezeli sobie wybierzemy dwa 'eny', gdzie n1 > n2, to odpowiadajace im wyrazy tez maja miec taka sama relacje.
18:30 <%Nivertius> Nierosnacy? [dla każdego] n2 > n1 : an2 <= an1 -> rosnący
18:30 <%Nivertius> Piszac '<=' mam na mysli 'mniejszy lub rowny'
18:30 <%Nivertius> Dobrze, czas na pytania
18:31 < Robol> a ciag znakow (1,3,2,4,3,5,...) tez jest monotonny?
18:31 <%Nivertius> Robol: Nie
18:31 <%Nivertius> Po pierwsze, nie 'monotonny', tylko 'monotoniczny' ;-)
18:31 < Robol> ;]
18:31 < Robol> nudny
18:32 < netx0r> Robol:
18:32 < Misiek> Nievertius: a nie mozna go potraktowac jako ciag przedzialami monotoniczny?
18:32 < netx0r> to sa zwykle funkcje matematyczne
18:32 <%Nivertius> Misiek: Można, ale monotonicznosc to jest cecha calego ciagu
18:32 < netx0r> oO misiek zadal good quest
18:32 < netx0r> ale
18:32 < netx0r> Nivertius
18:32 < netx0r> jezeli ejst zmienny
18:33 <%Nivertius> Chociaz z drugiej strony ciezko mowic o przedzialach w zbiorze liczb naturalnych ;-)
18:33 < netx0r> to jest od pewnego przedzialu do pewnego jakis
18:33 < netx0r> tak jak amsz funkcje
18:33 <@phoenix__> dalej
18:33 <%Nivertius> Ok, dalej
18:33 < netx0r> w pewnych przedzialach ejst rosnaca a w innych malejaca
18:34 <%Nivertius> Druga cecha ktora moze posiadac ciag jest ograniczonosc
18:34 <%Nivertius> Ciag jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy wszystkie jego wyrazy sa mniejsze lub wieksze od jakies liczby.
18:35 <%Nivertius> Ja tlumaczac monotonicznosc i ograniczonosc przyjalem, ze nasza przeciwdziedzina jest R, bo tam mamy dobrze zdefiniowane relacje wiekszosci, mniejszosci i rownosci. Pod koniec wykladu powiem jeszcze o normach, wtedy to bedzie dla dowolnej przestrzeni.
18:36 <%Nivertius> Ciag ograniczony od gory ma wszystkie wyrazy mniejsze od jakiejs liczby M. Ciag ograniczony od dolu ma wszystkie wyrazy wieksze od jakiejs liczby M.
18:37 <%Nivertius> Ciag staly jest zawsze ograniczony - to chyba oczywiste.
18:37 <%Nivertius> Ale przykladowo ciag (1, 2, 3, ...) nie jest ograniczony od gory.
18:38 <%Nivertius> Dlaczego? Bo dla kazdej liczby naturalnej istnieje liczba od niej wieksza
18:38 <%Nivertius> I wybierajac dowolna liczba M, M plus pierwszy wyraz ciagu jest od niej wiekszy.
18:38 <%Nivertius> Wiec nie jest ograniczony od gory.
18:38 <%Nivertius> Jest jednak ograniczony od dolu - np. M = -1
18:39 <%Nivertius> Definicja ograniczonosci jest taka: [istnieje] k : [dla każdego] n, an < k
18:39 <%Nivertius> To jest definicja ograniczonosci od gory.
18:40 <%Nivertius> Zapomnialem w planie napisac, ale mamy jeszcze dwa bardzo ciekawe ciagi: algebraiczny i geometryczny.
18:40 <%Nivertius> Pierwszy z nich to dowolny ciag rzeczywisty, w ktorym kolejny wyraz jest wiekszy od poprzedniego o stala.
18:41 <%Nivertius> Czyli kazdy ciag o wzorze an = (n-1)*r , gdzie r to ta stala jest ciagiem algebraicznym.
18:41 <%Nivertius> Jest on rosnacy [przy dodatnim r] lub malejacy [przy ujemnym r] lub staly [przy r = 0]
18:41 <%Nivertius> Drugi specjalny ciag to geometryczny
18:42 <%Nivertius> Jest to taki ciag, w ktorym stosunek dwoch kolejnych wyrazow jest staly
18:42 <%Nivertius> Czyli kazdy ciag taki, ze an/(an-1) = q jest geometryczny
18:43 <%Nivertius> Jak dobrze misiek zauwazyl sie oczywiscie pomylilem - ciag _arytmetyczny_, nie _algebraiczny_, przepraszam ;-)
18:43 <%Nivertius> Spokojnie Kosiarz, spokojnie, mialem o tym napisac.
18:44 <%Nivertius> Jednak q = 1 jest dopuszczone - ciag staly jest ciagiem geometrycznym [i arytmetycznym tez]
18:45 <%Nivertius> q nie moze byc rowne zero, bo dzielenie przez zero jest niezdefiniowane w R.
18:45 <%Nivertius> Teraz pokaze Wam kilka rzeczy, ktore sa ciagami, a sie nie wydaja.
18:46 <%Nivertius> (1) jest ciagiem jednoelementowym - to jest liczba po prostu
18:46 <%Nivertius> Ale (1,2) - to przeciez para licz - wspolrzedna na plaszczyznie
18:46 <%Nivertius> (1,2,3) to wspolrzedna w przestrzeni.
18:47 <%Nivertius> To sa wszystko ciagi, jednak w nich interesujace jest tylko to, ze wyrazy maja specyficzna kolejnosc. Monotonicznosc i ograniczonosc nie gra roli.
18:48 <%Nivertius> Pioter mowi, ze samo (1) nie moze byc ciagiem. Ja sie pytam dlaczego? Przeciez {1} to podzbior zbioru liczb naturalnych, f: {1} -> {1} jest funkcja na tym podzbiorze wiec (1) jest ciagiem ;-)
18:48 <%Nivertius> Ale to wszystko zalezy od definicji ;-)
18:50 <%Nivertius> Wracajac do wykladu: Innym przykladem ciekawego ciagu jest ciag rzutow moneta (R, R, O, R, O, O)
18:51 <%Nivertius> Pamietacie jeszcze wyklad o kombinatoryce? Przeciez tam wlasnie cos takiego bylo ;-)
18:51 <@phoenix__> to pytanie retoryczne
18:51 <%Nivertius> To bylo pytanie retoryczne
18:52 <%Nivertius> Mozna mowic o czyms takim jak permutacja ciagu - przemieszanie jego wyrazow.
18:53 <%Nivertius> Robimy przerwe na papieroska albo siusiu, a potem granice.
18:53 < ConSi> co sie stalo
18:53 < ged_> nie rob maciusia
18:53 < pioter> albo na br0
18:53 < qER\{0}> o kurwa
18:53 <%Nivertius> Nic sie nie stalo, mozecie zadawac pytania np.
18:53 < qER\{0}> fajnie
18:53 < qER\{0}> ide siusiu
18:53 < Reqamst> patrz na priv
18:53 < Robol> ja mam pytanie: czemu mowi sie ze "wtedy i tylko wtedy"?
18:53 < maho> ile bedzie w meczu Wlochy - Francja wg obliczen ? ;]
18:53 <@defc0n> 666:0
18:53 < qER\{0}> pewnie 9 mozliwosci bedzie
18:54 < Merowing> 1:2
18:54 < qER\{0}> 2:1 dla ITA
18:54 < maho> Merowing: stfu :P
18:54 < KosiarZ> Robol, bo to jest jednoczesnie => i <=, czyli <=>
18:54 <%Nivertius> Robol: To jest taki slang matematykow ;-)
18:54 < Merowing> Robol: bo jest w 2 strony
18:54 < Merowing> zaleznosci
18:54 < Merowing> *zaleznosc
18:54 < ged_> jesli powiesz jesli A to B
18:54 <%Nivertius> Ze to dziala w obie strony
18:54 < qER\{0}> ee
18:54 < ged_> to moze byc tez jesli C to B
18:54 < qER\{0}> to sie psize chybsa: <=>
18:54 < qER\{0}> tak?
18:54 < Merowing> tak
18:54 < ged_> tak
18:54 < Merowing> wtedy i tylko wtedy
18:54 < Merowing> bo to wynika jedno z drugiego
18:54 < Merowing> a jak masz =>
18:54 < Merowing> to masz if(lvalue) rvalue;
18:54 < ged_> co jest jeszcze w planach tego wykladu?
18:55 < Merowing> ale juz nie if(rvalue)lvalue;
18:55 < Merowing> :)
18:55 < Robol> dziwna ta matematyka
18:55 < pioter> granice
18:55 < diabel> lol
18:55 < ged_> tylko granice?
18:55 < KosiarZ> wtedy - => - implikacja
18:55 < KosiarZ> wtedy i tylko wtedy - <=> - rownowaznosc
18:55 < KosiarZ> koniec.
18:55 < pioter> hahaha
18:55 < ged_> ales mu wytlumaczyl
18:56 < Merowing> granice sa banalne :)
18:56 < KosiarZ> :D
18:56 < pioter> ja to w 1lo mialem :D
18:56 < Merowing> nie bylem od poczatku
18:56 < Merowing> ale mowil o skladaniu ?
18:56 < KosiarZ> ja tez mialem
18:56 < qER\{0}> pioter:
18:56 < Merowing> granic
18:56 < KosiarZ> i pamietam! :D
18:56 < qER\{0}> no tak
18:56 < qER\{0}> bo to sie nazywalo
18:56 < pioter> ?
18:56 < qER\{0}> LOGIKA
18:56 < qER\{0}> ;]
18:56 < Merowing> o zaleznosciach
18:56 <%Nivertius> Merowing: granic jeszcze nie bylo
18:56 < ged_> merowing, to policz lim (a^x-1)/x gdy x-->0 ;)
18:56 < pioter> dokladnie
18:56 < Merowing> typu lim(a-b) = lim a - lim b
18:56 < Merowing> itp
18:56 < qER\{0}> o czym Wy mowicie?
18:56 < Merowing> ged_: to daj kartke
18:56 < Merowing> ;P
18:57 < ged_> w pamieci ;)
18:57 < qER\{0}> tutaj sa dzieci z podstawowoki
18:57 <%Nivertius> ged_: brak granicy ;-)
18:57 < ged_> nie
18:57 <%Nivertius> A nie, 0/0
18:57 <%Nivertius> Z 'delopitala' mozna ;-D
18:57 < qER\{0}> ? :|
18:57 <%Nivertius> Niewazne, wracamy do wykladu.
18:57 < ged_> no chyba cos da
18:57 < qER\{0}> idz
18:57 < qER\{0}> po gadacie glupoty
18:57 < adex> elo
18:57 < qER\{0}> tzn. lec;]
18:58 <%Nivertius> Teraz granice.
18:58 <%Nivertius> Najpierw zakladam, że mamy ciagi rzeczywiste, tzn f: N->R
18:58 <%Nivertius> Bo inaczej, to trzebaby zdefiniować norme.
18:59 <%Nivertius> Wiec co to jest granica ciagu? Granica ciagu to cos do czego ciag dazy
18:59 <%Nivertius> Pod warunkiem, ze do czegos dazy.
18:59 <%Nivertius> Przykladowo, jezeli mamy ciag an = 1/n czyli (1, 1/2, 1/3, ...)
19:00 <%Nivertius> To widac, ze im dalej w ciagu jestesmy tym blizej jestesmy liczby 0
19:00 <%Nivertius> I faktycznie, 0 jest granica ciagu (1/n)
19:01 <%Nivertius> Definicje ciagu najpierw przedstawie, a potem postaram sie wytlumaczyc
19:01 <%Nivertius> Definicja brzmi tak: granica ciagu a rowna g istnieje, jezeli [dla każdego] e [istnieje] n0 : [dla kazdego] n > n0, |an - g| < e
19:01 <%Nivertius> Spokojnie, ja wiem, ze wyglada strasznie.
19:02 <%Nivertius> Ale moze uda nam sie rozwiklac co to jest.
19:02 <%Nivertius> Z pomoca przyjdzie nam ilustracja:

19:04 <%Nivertius> Wiec ogolnie rzecz biorac chodzi o to, ze jezeli sobie wybierzemy odgornie jakies e, to powinnismy miec mozliwosc wybrania takiego n0, ze wszystkie wyrazy po n0 sa w odleglosci od g mniejszej niz to nasze e
19:04 <%Nivertius> Matematycy wprowadzili taka ciekawa definicje terminu 'prawie wszystkie'
19:04 <%Nivertius> Prawie wszystkie, to znaczy 'wszystkie oprocz skonczonej ilosci'
19:05 <%Nivertius> Wiecie jak sie ta definicja ma do swiata rzeczywistego? Tak: Prawie wszyscy na tym kanale to kobiety.
19:05 <%Nivertius> Nawet gdyby nie bylo ani jednej kobiety, to i tak to jest prawdziwe.
19:05 <%Nivertius> Ta definicja zachowuje sie jak 'dowolna ilosc' dla zbiorow skonczonych.
19:06 <%Nivertius> Dla nieskonczonych jest juz inaczej.
19:07 <%Nivertius> Dlaczego o tym mowie? Dlatego, ze znajac taka definicje, mozna powiedziec, ze granica istnieje, jezeli prawie wszystkie wyrazy leza blisko granicy.
19:07 <%Nivertius> Blisko tez jest zdefiniowane bardzo ciekawie, bo to znaczy 'dowolnie blisko' - czyli mniej niz ustalona odleglosc.
19:08 <%Nivertius> Teraz udowodnie dlaczego granica ciagu (1/n) jest 0
19:08 <%Nivertius> Wybieramy sobie dowolne e
19:08 <%Nivertius> Jezeli to e jest wieksze od 1, to wszystkie wyrazy naleza do przedzialu [e,-e] wiec naleza takze prawie wszystkie.
19:09 <%Nivertius> Oj, zapomnialem, ze to e musi byc dodatnie, przepraszam ;-/
19:10 <%Nivertius> Jezeli wybierzemy sobie e mniejsze od 1 to zawsze mozemy sobie wybrac takie n0 > 1/e, ze wszystkie wyrazy o numerze wiekszym od tego n0 sa mniejsze od e
19:10 <+Merowing> lim 1/n dla n -> inf ;)
19:11 <%Nivertius> Wiesz, dla liczb naturalnych jest zdefiniowana tylko jedna granica, poniewaz liczby naturalne maja tylko jeden punkt skupienia.
19:11 <+Merowing> tak ale jak robisz granice to nalezy zapisac
19:11 <+Merowing> nie podales ze jest naturalne
19:11 <%Nivertius> Podalem - to jest w definicji ciagu. Ja nie mowie o funkcjach, ja mowie o ciagach.
19:12 <+Merowing> dobra mow dalej ;p
19:12 <%Nivertius> Wracajac do wykladu: jezeli np. wybierzemy sobie e = 1/3, to kazdy wyraz o numerze wiekszym od 3 jest mniejszy od tego e
19:12 <%Nivertius> Tak wiec zero jest granica.
19:12 <%Nivertius> Dowodzi sie tez, ze jezeli istnieje granica, to jest ona tylko jedna.
19:13 <%Nivertius> Robi sie to przez sprzecznosc w zalozeniu, ze istnieja dwie rozne. Wezmy sobie liczby g i h jako dwie rozne granice ciagu
19:14 <%Nivertius> Teraz mozemy sobie wybrac dowolne e - wybierzmy sobie e = (g-h)/2 czyli polowa odleglosci miedzy tymi granicami.
19:15 <%Nivertius> Z definicji istnieja takie n0 dla g i n0 dla h, ze prawie wszystkie wyrazy leza w odleglosci nie wiekszej niz e od odpowiedniej granicy
19:15 <%Nivertius> Wezmy sobie to wieksze n0.
19:16 <%Nivertius> I tutaj wychodzi sprzecznosc, bo prawie wszystkie znaczy wszystkie oprocz skonczonej ilosci - jezeli przy kazdej granicy lezy nieskonczona ilosc, wiec przy zadnej nie leza prawie wszystkie - sprzecznosc w zalozeniach
19:17 <%Nivertius> Oczywiscie granica nie identyfikuje ciagu - dwa rozne ciagi moga miec jedna granice.
19:17 <%Nivertius> Przykladowo (1/n) i (2/n) maja wspolna granice.
19:18 <%Nivertius> Granica ciagu stalego, przykladowo (1, 1, 1, ...) to oczywiscie wyraz tego ciagu, bo odleglosc wszystkich wyrazow od granicy jest rowna zero, wiec jest mniejsza od kazdego dodatniego e
19:19 <%Nivertius> Granice sa zapisywane tak: lim{n->inf} an
19:19 <%Nivertius> To co napisane w klamrach powinno byc pod 'lim'
19:19 <%Nivertius> 'lim' to skrót od limes - lacinskiego 'granica' ;-)
19:20 <%Nivertius> Granice maja pewne wlasnosci, ktorych nie bede dowodzil.
19:20 <%Nivertius> Po pierwsze, jezeli mamy dwa ciagi a i b i lim{n->inf} an = g, a lim{n->inf} bn = g, to:
19:21 <%Nivertius> lim{n->inf}(an + bn) = (g + h)
19:21 <%Nivertius> A jezeli mamy liczbe rzeczywista c, to:
19:21 <%Nivertius> lim{n->inf}(c an) = (c g)
19:22 <%Nivertius> To powoduje, ze limes staje sie 'operatorem liniowym' przeksztalcajacym ciag w liczbe: lim: ciag -> R
19:23 <%Nivertius> Dodatkowo, lim{n->inf}(an bn) = (g h)
19:23 <%Nivertius> A przy zalozeniu, ze h != 0 i kazde bn != 0 to lim{n->inf}(an / bn) = (g / h)
19:24 <%Nivertius> Sa jednak ciagi, ktore nie maja granic.
19:25 <%Nivertius> Trywialnym z nich jest (n). Dowód? Jezeli wybierzemy sobie dowolna g i e, to wyraz o numerze wiekszym od (g+e+1) nie lezy w przedziale [g-e, g+e].
19:25 <%Nivertius> To samo sie tyczy (n^2)
19:26 <%Nivertius> Jak liczyc granice? Metod jest kilka
19:26 <%Nivertius> Ja podam tylko najprostsze, bo nie ma czasu.
19:26 <%Nivertius> Chcemy obliczyc granice (2n+1 / n)
19:26 <%Nivertius> Czyli lim{n->inf}(2n+1 / n)
19:27 <%Nivertius> Wzor ciagu mozna zapisac jako (2n/n + 1/n), czyli (2 + 1/n)
19:28 <%Nivertius> lim{n->inf}(2 + 1/n) z wlasnosci to jest lim{n->inf}(2) + lim{n->inf}(1/n)
19:28 <%Nivertius> Czyli 2 + 0 = 2
19:28 <+Merowing> nie trzeba tego rozpisywac :)
19:28 <%Nivertius> Inna granica: (n^2+1 / n^3)
19:28 <+Merowing> po za tym to jest przypadek specjalnego ukladu
19:28 <+Merowing> inf / inf
19:28 <+Merowing> i to powinno sie zapisac
19:28 <+Merowing> ;)
19:28 <+Merowing> bo to jest nie okreslone wtedy sie wlasnie dzieli
19:28 <+Merowing> przez najwyzsza potege z mianownika
19:29 <%Nivertius> Na koniec przedstawisz nam de'Hospitala ;-)
19:29 <%Nivertius> Tak jak Merowing powiedzial - trzeba podzielic licznik i mianownik przez najwysza potege licznika:
19:30 <%Nivertius> (n^2/n^2)+(1/n^2) / (n^3/n^2) = (1+(1/n^2))/n = 1/n + 1/n^3
19:30 <%Nivertius> Widac, ze granica jest rowna 0
19:31 <%Nivertius> Czasami jednak nie da sie wyliczyc granicy.
19:31 <%Nivertius> Wtedy mozna sie posluzyc pewnym narzedziem do stwierdzenia czy istnieje
19:32 <%Nivertius> Jezeli ciag jest scisle monotoniczny [np. rosnacy] i ogranicony [np od gory] to ma granice
19:32 <%Nivertius> Przykladem takiego ciagu jest (-1/n)
19:32 <%Nivertius> Rosnie - poniewaz -1/(n+1) > -1/n
19:33 <%Nivertius> I jest ograniczony od gory - np. przez 0
19:33 <%Nivertius> Ma granice? Mozna policzyc, ze jest ona rowna zero
19:33 <@xa> ile tak na oko trwa kazdy wyklad?
19:33 <+Merowing> mianownika
19:33 <+Merowing> nie licznika
19:33 <%Nivertius> Ja podzielilem przez licznik i mi wyszlo ;-)
19:34 <%Nivertius> Dobra, teraz to na co pewnie duza liczba osob czeka.
19:34 <%Nivertius> Zastosowanie informatyczne granic ;-)
19:34 <+Merowing> do obliczania zlozonosci
19:34 <+Merowing> ;)
19:34 <%Nivertius> Ja cos bardziej ubogiego wymyslilem
19:35 <%Nivertius> To zastosowanie jest do oceniania zasobow przez uzytkownikow tak, zeby oceniajacy nie trolowali.
19:35 <%Nivertius> Przykladowo: mamy serwis, ktory publikuje filmy. I chce od uzytkownikow opinie nt. tych filmow
19:36 <%Nivertius> Ustalamy, ze mozna glosowac tylko za i przeciw.
19:36 <%Nivertius> Bedzie pewna liczba osob, ktore glosuja przeciw tylko dlatego, zeby to zrobic.
19:36 <%Nivertius> Jak sie przed tym obronic? Moze zmienna waga glosow?
19:37 <%Nivertius> Tutaj niestety musimy uznac zasade, ze wiekszosc ma racje, co przez wielu jest nie do zaakceptowania.
19:37 <%Nivertius> Jezeli czlowiek glosuje tak jak wiekszosc - to nazwijmy to glosuje 'dobrze'
19:38 <%Nivertius> Chcemy, zeby czlowiek, ktory glosuje caly czas dobrze mial pelne prawo glosu, a czlowiek, ktory glosuje caly czas przeciwko nie mial go w ogole.
19:39 <%Nivertius> Wiec umawiamy sie na przyklad tak: czlowiek, ktory sie dopiero zarejestrowal ma prawo glosu rowne 1/2. Jezeli zaglosuje 'dobrze' to powinno mu sie to zwiekszyc, w przeciwnym wypadku zmniejszyc.
19:39 <%Nivertius> I tutaj pojawiaja sie ciagi i granice.
19:40 <%Nivertius> Ciag glosowan powinien miec granice 1 gdy czlowiek glosuje dobrze 0, jezeli glosuje zle.
19:40 <%Nivertius> Wiec trzeba nam ustalic wzory ciagow - przykladowo takie: (k/n), gdzie k to liczba dobrych glosowan a n to liczba glosowan w ogole.
19:41 <%Nivertius> Pierwszy wyraz jednak trzeba ustalic odgornie a0 = 1/2
19:41 <%Nivertius> an = (k/n) dla n > 0
19:42 <%Nivertius> Ale pojawia sie pewien problem. Jezeli czlowiek po raz pierwszy zaglosuje zle, co sie mu moze zdarzyc to bedzie mial zerowe prawo glosu
19:42 <%Nivertius> Mozemy tak chciec - jezeli zaglosuje nastepnym razem dobrze to znow ma 1/2, mozemy jednak tego nie chciec.
19:42 <+Merowing> tez zes przyklad dal :P
19:43 <%Nivertius> Tworzymy inny ciag: an = (k+1 / n+1) dla n > 1
19:43 <%Nivertius> Nadpisujemy pierwszy wyraz: an = 1/2
19:43 <%Nivertius> Jezeli zaglosuje dobrze to ma 1. Zle - 1/2.
19:44 <%Nivertius> Wspolczynniki mozna dobierac dowolnie, zaleznie od uznania, i poblazliwosci wzgl. uzytkownikow.
19:44 <%Nivertius> W kazdym razie przy k = 0 granica powinna byc rowna 0
19:44 <%Nivertius> A przy k = 1 granica = 1
19:44 <%Nivertius> Blad, przy k = n granica = 1
19:45 <%Nivertius> Implementacje pozostawiam juz wam, ale mysle, ze ten system bedzie dzial bardzo dobrze na trollow.
19:45 <%Nivertius> Powiem wam jeszcze kilka ciekawych rzeczy o ciagach ;-)
19:46 <%Nivertius> Istanieje bardzo ciekawy ciag nazwany od wloskiego matematyka z 14w. Fibonacciego
19:47 <%Nivertius> On ma tylko definicje rekurencyjna: a0 = 1, a1 = 1, an = an-1 + an-2
19:47 <%Nivertius> Pierwsze kilka wyrazow to (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...)
19:47 <+Merowing> mozna rozpisac
19:47 <+Merowing> ;P
19:47 <%Nivertius> On sam w sobie nie ma granicy
19:48 <%Nivertius> Ale granice i to bardzo ciekawa ma stosunek dwoch jego kolejnych wyrazow
19:48 <%Nivertius> lim{n->inf} (an/an-1) = ...
19:48 <%Nivertius> Raczej wam podam, bo nie wiem czy sie nie zaplatam w liczeniu
19:49 <%Nivertius> Wynosi on (sqrt(5)+1)/2 =~ 1.61803...
19:50 <%Nivertius> Jest to zlota proporcja - czyli taki specjalny podzial odcinka
19:51 <%Nivertius> Jezeli mamy odcinek AB to jego zloty podzial to taki podzial na odcinki AC i CB, ze AB : AC = CB : AC
19:51 <%Nivertius> Zaleznosc miedzy tymi dwoma rzeczami - ciagiem Fibonacciego i zlotym podzialem jest zaskakujaca i bardzo wielu ludzi uwaza ja za fantastyczna.
19:52 <%Nivertius> Pytanie brzmi: Chcecie jeszcze posluchac o granicach w przestrzeniach innych niz R?
19:52 < ged_> ja tak
19:52 < Misiek> jasne
19:52 <%Nivertius> Lub macie jeszcze jakies pytania dot granic
19:52 < pioter> :)
19:52 < Misiek> o ile zdazysz przed drugim wykladem
19:52 < ged_> po co dales ten limes z kosmosu? ;p
19:52 <%Nivertius> Ktory?
19:52 < gopher> :D
19:52 < ged_> fiba
19:53 < pioter> przyklad ciagu bez granicy
19:53 < pioter> an = a1*q^(n-1) gdzie q= -1
19:53 <%Nivertius> Ciag naprzemienny ;-)
19:53 <%Nivertius> Owszem, nie ma granicy ;-)
19:55 <%Nivertius> Dobra, niech bedzie koniec.